La Cerradura Normal de Algunas Extensiones de Kummer y la Estructura de su Grupo de Galois

Abstract

En este trabajo de tesis se desarrollarán los resultados que generalizan el caso en el que se toma una extensión arbitraria K(√p a) y se toma a L como la cerradura normal de K(√p a) sobre F. El resultado principal (Teorema 3.2.1) es determinar la estructura del grupo Gal(L/K) completamente, partiendo ´unicamente de la informaci ón de K. Para esto, definiremos una sucesión de elementos de K dada como sigue: Dado un elemento arbitrario a ∈ K, definimos a0 := a y ai+1 := σ(ai)/(ai), para cada i > 0. Entonces, el grado de L sobre K estará determinado por el primer s tal que as = bp, con b ∈ K. Veremos que s ≤ q y que para cada grado posible, salvo el mayor (s = q), habrá exactamente dos tipos de grupos de Galois que se pueden dar; de la sucesión definida, construiremos una raíz p-ésima de la unidad que es trivial en un caso y no trivial en el otro.