PRODUCTO CRUZ EN ESPACIOS EUCLÍDEOS

Abstract

Rn y las propiedades que cumple, además de dar algunas aplica- ciones de este producto cruz a la solución de problemas de álgebra lineal, tales como: dados n􀀀1 vectores linealmente independientes, extenderlos a una base; dada una base ordenada, obtener su base dual; dadas dos bases ordenadas, obtener la matriz de cambio de base; dada una base ordenada, obtener una base ortogonal; dados los vectores _1; _2; :::; _n􀀀2; , linealmente independientes, resolver para _ la ecuación _1 _ ::: _ _n􀀀2 _ _ = . Todo esto se resuelve primero en R3 y después se generaliza a Rn. En el caso particular de R3, también se deducen las ecuaciones para calcular la reexión y la rotación de un vector arbitrario. También se dedica un capítulo entero a los cuaternios (octonios) de Hamilton (de Cayley-Graves) y se muestra que se puede realizar un producto cruz con dos cuater- nios (octonios) puros, un producto cruz con tres cuaternios y dos productos cruz con tres octonios. Debido a que los cuaternios y los octonios son álgebras composición, se hace referencia al problema de Hurwitz y se realiza la construcción de algebras composición tales como los complejos, los cuaternios y los octonios, mediante el pro- ceso de duplicación de Dickson, a partir del álgebra de los números reales. El aspecto más importante de resaltar es, que se generaliza a Rn un algoritmo alternativo, que permite calcular la base dual de manera muy rápida y sencilla, mediante el producto cruz general- izado, evitando así el tener que resolver n sistemas de n ecuaciones lineales, con n incógnitas cada uno.